Das einfachste Beispiel für Bruchrechnen ist die Torte. Wenn Du 3 Deiner Freunde zu Deiner Geburtstagsparty einlädst und alle ein gleichgroßes Stück Kuchen essen, sollte der Kuchen in 4 gleiche Portionen aufgeteilt werden.

Du hast also 1 Kuchen in 4 Stücke geteilt. Dies wird als Bruch bezeichnet und in der Mathematik wird dies wie folgt dargestellt:

Ein Bruch besteht aus einem Zähler (oben), einem Nenner (unten) und einem Bruchstrich (dazwischen).

Bruchzahlen gehören zur Menge der rationalen Zahlen (Q) 

Je größer der Nenner, desto mehr teilt er sich durch 1, also desto feiner ist die Teilung durch 1. Du kannst Dir das so vorstellen: Wenn Du 1 durch eine größere Zahl dividierst, wird das Ergebnis kleiner sein.

Die Brüche, bei denen der Wert des Bruchs kleiner als 1 ist, werden als echter Bruch bezeichnet (Zähler<Nenner):

Aber auch Zahlen, die größer als 1 sind, können auch mit Brüchen geschrieben werden und diese nennen wir unechter Bruch:

Wenn Nenner und Zähler gleich sind, ist der Wert des Bruchs genau 1 oder -1:

Ganze Zahlen (entweder positiv oder negativ) können als Brüche geschrieben werden, und daher gehören diese Zahlen auch zur Menge der rationalen Zahlen.

Es gibt auch sogenannte gemischte Zahlen, bei denen eine ganze Zahl mit einem Bruch kombiniert wird:

In der Mathematik unterscheidest du beim Rechnen mit Brüchen zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen.

Die Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben: 

Brüche werden als ungleichnamig bezeichnet, wenn sie verschiedene Nenner haben:

• Addition und Subtraktion bei Brüchen mit gleichem Nenner

Beim Bruchrechnen kannst du Brüche mit gleichem Nenner addieren und subtrahieren. Sowohl bei der Addition als auch bei der Subtraktion musst Du die Zahlen mit Zähler addieren oder subtrahieren und die Zahlen im Nenner unverändert lassen.

• Addition und Subtraktion mit Brüchen mit unterschiedlichen Nennern:

Beim Addieren und Subtrahieren von ungleichnamigen Brüchen müssen die Brüche zuerst auf dem gleichen Nenner gebracht werden. Es wird immer der kleinste gemeinsame Nenner gesucht. In der Mathematik können je nach Aufgabe 2 Methoden verwendet werden, sowie das Erweitern oder Kürzen von Brüchen.

• Brüche erweitern:

Um die Brüche zu erweitern, multiplizierst Du den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl, so dass sich der Wert des Bruchs nicht ändert.

Beispiel: Erweitere ein Zweitel mit 3

• Brüche kürzen;

Brüche können gekürzt werden, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler durch dieselbe Zahl teilbar sind.

Beispiel: Kürze drei Sechstel  durch 3

• Berechnung des gemeinsamen Nenners:

In unserem Beispiel wird 6 der gemeinsame Nenner sein, was bedeutet, dass der Nenner von ein Zweitel mit 3 und der Nenner von ein Drittel mit 2 multipliziert werden muss. 

Allerdings muss auch der Wert der Zähler um den gleichen Betrag erhöht werden, damit sich der Wert der Bruch nicht ändert.

Es gibt jedoch Brüche, bei denen der gemeinsame Nenner einer der Nenner ist, weil diese Zahl ein gemeinsames und vielfaches der anderen Zahlen ist.

In diesem Beispiel wird 6 der gemeinsame Nenner sein, weil 6 ein vielfaches von 2 ist. Da sich der Wert von nicht ein Sechstel ändert, muss nur der Zähler und der Nenner von zwei Drittel mit 2 multipliziert werden, um die beiden Brüche mit demselben Nenner zu erhalten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass man Brüche nur dann durch Brüche addieren oder subtrahieren kann, wenn die Nenner der Brüche gleich sind.

Hier ist das kleinste gemeinsame vielfache 12.

Dann sollte der Bruch im Ergebnis, wenn möglich, gekürzt werden.

Kürze neun Zwölftel durch 3

• Umrechnen/Umwandeln

Du weißt bereits, dass es sogenannte unechte Brüche gibt, bei denen der Nenner kleiner ist als der Zähler. Wenn Du den Zähler durch den Nenner teilst, erhältst Du eine Zahl, die größer als 1 ist.

Du kannst den unechten Bruch in eine gemischte Zahl und die gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln.

Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl:

Beispiel: einundzwanzig Achtel

Du berechnest zunächst, wie oft der Nenner im Zähler steht, also wie viele Ganzzahlen von 8 in 21 vorkommen. In 21 ist also 8 gleich 2, und 5 ist der Rest Die ganze Zahl 2, ausgedrückt in Achteln, ist :

Subtrahiere von sechzehn Achteln  einundzwanzig Achtel um zu berechnen, wie viele Achteln von einundzwanzig Achtel übrigbleiben, wenn du 2 abziehst. Du erhaltest also das Gesamtergebnis, das 2 ganze und fünf Achtel beträgt:

Eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln:

Beispiel:

Die ganze Zahl 4 kann als Bruch geschrieben werden, was entspricht  vier Eintel.

Bringst Du dann, basierend auf dem, was Du bereits gelernt hast, auf vier Eintel einen gemeinsamen Nenner mit zwei Dritteln und berechnest Du das Ergebnis:

•  Multiplizieren von Brüchen

Bei Brüchen, die durch Multiplikation und Division gebildet werden, spielt es keine Rolle, ob die Nenner gleich oder verschieden sind.

Bei der Multiplikation von Brüchen multiplizierst Du den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.

Wenn Du einen Bruch mit einer ganzen Zahl (z. B. 1, 2, 3, ...) multiplizierst, musst Du die ganze Zahl zunächst in einen Bruch umwandeln.

• Dividieren von Brüchen

Bei der Division von Brüchen wird der Zähler des zweiten Bruches durch den Nenner ersetzt. Ersetzt Du dann das Divisionszeichen (:) durch das Multiplikationszeichen (·). Jetzt hast Du eine weitere Multiplikationsaufgabe, die Du bereits kennst.

Bei der Division von Brüchen durch ganze Zahlen oder von ganzen Zahlen durch Brüche, muss die ganze Zahl in einen Bruch umgewandelt werden, dann muss die Division durchgeführt werden.

Beachtest Du auch beim Rechnen mit Brüchen die zuvor erlernten Rechenregeln.